GAUSS JORDAN

 

El método de Gauss-Jordan es una técnica fundamental en el álgebra lineal y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Este método ofrece una forma eficaz y sistemática de resolver ecuaciones lineales y encontrar soluciones únicas. Se utiliza en diversos campos de las matemáticas y la ingeniería.

El proceso comienza expresando el sistema de ecuaciones como una matriz, y luego se reduce a un sistema equivalente mediante operaciones de fila simples². El objetivo es escribir la matriz con el número 1 como la entrada en la diagonal principal y tener todos los ceros arriba y abajo

Para convertir cualquier matriz a su forma reducida de fila escalonada, se realiza la eliminación de Gauss-Jordan. Hay tres operaciones de fila elementales utilizadas para lograr la forma reducida de fila escalonada

1.    Intercambiar dos filas.

2.    Multiplicar una fila por cualquier constante distinta de cero.

3.    Agregar un múltiplo escalar de una fila a cualquier otra fila

Por ejemplo, considera el siguiente sistema de ecuaciones 2x2:

3x + 4y = 7

4x - 2y = 5

Podemos expresar este sistema como una matriz aumentada de la siguiente manera:

[ 3  4 |  7 ]

[ 4 -2 |  5 ]

Luego, podemos usar el método de Gauss-Jordan para reducir esta matriz a su forma escalonada reducida

El método de Gauss-Jordan tiene varias ventajas y desventajas:

Ventajas:

• Es un algoritmo estable cuando se pivota.
• Convierte una matriz en una forma escalonada de fila reducida.
• Para un sistema pequeño, es más conveniente usar el método de Gauss-Jordan.
• La solución se puede leer directamente.

Desventajas:

• Requiere tres veces el número de operaciones que el método de eliminación de Gauss.
• Es más lento que el método LU o el método de eliminación de Gauss.
• Las operaciones de fila adicionales significan aritmética adicional.